Selasa, 05 Juni 2012

ALJABAR


Materi Singkat
A.Persamaan Fungsi Kuadrat
1.Bentuk umum persamaan kuadrat:
Ax2 + bx + c = 0
           

Dengan a,b,c = konstanta daan a ≠ 0
2.Akar- akar persamaan kuadrat
            Dapat ditentukan dengan beberapa metode berikut
a.faktorisasi
misal (x-p)(x-q)=0 berarti memiliki akar-akar p dan q
b.melengkapkan kuadrat sempurnah
            mengubah persamaan kuadrat kebentuk : (x+p)2 = q
c.rumus ABC
            jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan ax2 +bx +c =0 maka berlaku
            x1,2 =
3.Diskriminan dan sifat akar-akar persamaan kuadrat
            D = b2-4ac
Sifat akar-akar persamaan kuadrat :
            a.jika D> 0,maka akar-akarnya nyata dan berlainan
            b.jika D=0,maka akar-akarnya nyata dan sama
            c.jika D<0,maka akar-akarnya imajiner.
4.Operasi akar-akar persamaan kuadrat
            A,penjumlahan : x1 + x2 =-
            b.perkalian       : x1 x2 =  
            c.selisih                        : x1-x2 =
5.Hubungan akar-akar persamaan kuadrat
            a.akar-akar berlawanan                       :x1 =-x2
            b.akar-akar berkebalikan         : x1 =1/x2
            c.akar-akar sama                      : x1 = x2
            d.akar yang satu m lebihnya   : x1 =x2+m
d.akar yang satu n kalinya      : x1 = nx2
6.Menyusun persamaan kuadrat
            Jika p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat maka dapat dituliskan persamaannya :
            (x-p)(x-q) = 0 atau x2 – (p+q)x + pq =0
B.Fungsi Kuadrat
1,Bentuk Umum
            F(x) = ax2 + bx +c atau f(x) = a(x-x1)(x-x2)
2.Titik-titik khusus pada grafik fungsi kuadarat
            a.titik potong sumbuh y : (0,c)
            b.titik potong sumbuh x : (x1,0) dan (x2,0)
            c.titik puncak (xp,yp)
                        xp =-
                        yp =
3.Menentukan persamaan dari fungsi kuadrat
            a.Diketahui titik potong dengan sumbuh x dan satu titik lain
                        y =a(x-x1)(x-x2)
            b.Diketahui titik puncak (xp,yp) dan satu titik lain
                        y = a(x-xp)2 + yp
            c.Diketahui tiga titik semmbarang
                        y = ax2 + bx +c
SOAL-SOAL PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

1. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 2x 2 - 4x + 6 = 0
adalah…..
A. 3   B.2  C.21  D. -21   E. -2
jawab :
persamaan umum kuadrat ax 2 +bx + c = 0
x1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat.
x1 + x 2 = -a/b ; x1 . x 2 =a/c ;
soal di atas yang ditanya adalah perkalian akar-akar:
x1 . x 2 =a/c =6/2 = 3
jawabannya adalah A
2. Persamaan kuadrat ( k + 2 )x 2 - ( 2k - 1) x + k – 1 = 0
mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah kedua
akar persamaan tersebut adalah….
A.89    B.98    C.25    D.52    E.51
jawab:
Persamaan kuadrat mempunyai akar-akar nyata dan
sama berarti D = 0
D = b 2 - 4.a.c
D = 0
{- (2k -1) } 2 - 4. (k+2).(k-1) = 0
(4k 2 - 4k + 1) – 4 (k 2 + k – 2 ) = 0
4k 2 - 4k + 1 – 4k 2 - 4k + 8 = 0
- 8k + 9 = 0
8k = 9
k = 8/9
3. Persamaan kuadrat x 2 + (m-2)x + 9 = 0, akar-akar
nyata. Nilai m yang memenuhi adalah….
A. m -4 atau m 8
B. m -8 atau m 4
C. m -4 atau m 10
D. -4 m 8
E. -8 m 4
Jawab:
Akar-akar nyata maka D 0
(m-2) 2 - 4. 1. 9 0
m 2 - 4m + 4 – 36 0
m 2 - 4m – 32 0
(m + 4 ) (m- 8 ) 0
untuk D =0 didapat m = -4 atau m = 8
untuk D 0, uji dengan grafik garis
+++ ----------------------------------------- +++
• • • • • • • • • • • • • • • •
-4 0 8
Nilai-nilai yang memenuhi adalah yang bertanda ++
yaitu m -4 atau m 8
Jawabannya adalah A
UN2004
4. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2
adalah:
A. x 2 + 7x + 10 = 0
B. x 2 + 3x - 10 = 0
C. x 2 - 7x + 10 = 0
D. x 2 - 3x – 10 = 0
E. x 2 + 3x + 10 = 0
Jawab:
Rumus persamaan umum kuadrat:
x 2 - (x1 + x 2 ) x + x1 . x 2 = 0
x 2 - (5 - 2) x + 5 .(-2) = 0
x 2 - 3 x - 10 = 0
jawabannya adalah D
EBTANAS 1999
5. Akar-akar persamaan kuadrat x 2 - 5 x - 3 = 0
adalah x1 dan x 2 . Persamaan kuadrat yang akarakarnya
x1 -1 dan x 2 - 1 adalah...
A. x 2 - 3x - 7 = 0
B. x 2 -5x - 7 = 0
C. x 2 - 7x - 7 = 0
D. x 2 - 3x + 3 = 0
E. x 2 - 7x + 3 = 0
jawab:
x1 + x 2 = -a/b = -15= 5x1 . x 2 =ac = - 3
persaman kuadrat dengan akar-akar x1 -1 dan x 2 - 1 :
x 2 - (x1 - 1+ x 2 -1 ) x + (x1 -1) .( x 2 -1) = 0
x 2 - (x1 + x 2 - 2 ) x + x1 . x 2 - (x1 + x 2 ) + 1 = 0
masukkan nilai-nilainya :
x 2 - (5-2) x - 3 – 5 + 1 = 0
x 2 - 3 x - 7 = 0
jawabannya adalah A
6. Grafik di bawah ini berbentuk parabola dengan
persamaan ….
A. y = x 2 - 4x + 3
B. y = x 2 - 4x - 3 = 0
C. y = x 2 + 4x + 4
D. y = -x 2 - 4x +3
E. y= - x 2 + 4x – 3
jawab:
Dari gambar terlihat bahwa titik potong dengan
sumbu x di titik (1,0) dan (3,0) serta memotong di
titik (0,3)
Persamaan yang memotong di titik (1,0) dan (3,0)
adalah y = a (x - 1 x ) ( x - 2 x )
dengan memasukkan nilai x1 dan x 2 didapat :
y = a (x – 1)(x-3)
y = a (x 2 - 4x + 3)
= ax 2 - 4ax + 3a
a dicari dengan bantuan titik (0,3)
jika x=0 maka y =3
masukkan nilai tersebut:
y = ax 2 - 4ax + 3a
3 = 3a
a = 1
Sehingga persamaan grafiknya adalah
y = x 2 - 4x + 3
Jawabannya adalah A
7. Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai
maksimum 5 untuk x = 2, sedangkan f(4) = 3.
Fungsi kuadrat tersebut adalah…..
A. f(x) = -21 x 2 + 2x + 3
B. f(x) = -21 x 2 - 2x + 3
C. f(x) = -2
1 x 2 - 2x – 3
D. f(x) = - 2 x 2 - 2x + 3
E. f(x) = - 2 x 2 + 8x – 3
Jawab:
titik yang diketahui adalah titik maksimum di titik (2,5)
persamaan fungsi kuadratnya :
y = a (x - p x ) 2+ p y
= a (x – 2) 2 + 5
= a (x 2 - 4x +4) + 5
= ax 2 - 4ax + 4a+5
a dicari dengan bantuan fungsi y=f(4) = 3
apabila x =4 maka y =3
masukkan ke dalam persamaan:
y=f(x) = ax 2 - 4ax + 4a+5
3 = 16.a – 16a + 4a+5
-2 = 4a
a = -21
sehingga fungsi kuadratnya :
y= ax 2 - 4ax + 4a+5
= -21 x 2 + 2x + 3
jawabannya adalah A
8. Daerah hasil fungsi f(x)= x 2 -2x - 3 untuk daerah asal
{x | -1 x 4, x R }. Dan y=f(x) adalah…..
A. {y| -5 y 0, y R }
B. {y| -4 y 4, y R }
C. {y| -4 y 5, y R }
D. {y| 0 y <5, y R }
E. {y| 0 y <11, y R }
Jawab:
Untuk menjawab soal ini, kita perlu membuat grafiknya agar
terlihat batas-batasnya.
- langkah 1
tentukan titik puncaknya.
cari x puncak (x p ) dari f(x)= x 2 -2x - 3
x p =b/2a= -2.12= 1
y p = f(1) = 1 – 2 – 3 = -4
Didapat titik puncak (1,-4)
- langkah 2
masukkan nilai-nilai daerah asal untuk
x = -1 dan x = 4
f(-1) = 1 + 2 – 3 = 0
f(4) = 16 -8 – 3 = 5
- langkah 3
gambar grafik
titik puncak (1,-4)
titik-titik (-1,0), (4,5)
Terlihat daerah hasil -4 y 5
Jawabannya adalah C
10. Grafik fungsi kuadrat yang persamaannya adalah
y = 6 +px – 5x 2 memotong sumbu x. Salah satu titik
potongnya adalah (-2,0), mak p = ….
A. -13 C. 6 E. 13
B. -7 D. 7
jawab :
y = 6 +px – 5x 2 , memotong di sumbu x
memotong di sumbu x jika y=0
masukkan nilai di titik (-2,0)
0 = 6 -2p -20
2p = 6 – 20
2p = -14
p = -7
jawabannya adalah B
9. Grafik fungsi f(x)= ax 2 +bx +c seperti gambar berikut,
jika b 2 - 4ac > 0dan ….
A. a > 0 dan c > 0 D. a <0 dan c<0
B. a > 0 dan c <0 E. a > 0 dan c = 0
C. a<0 dan c>0
jawab :
teori:
x1 . x 2 > 0 �� x1 dan x 2 (kedua-duanya positif atau
negatif)
( + kali + atau – kali – adalah > 0)
x1 . x 2 < 0 �� x1 dan x 2 berlainan ( positif dan negatif)
(+ kali – adalah < 0)
Terlihat pada gambar adalah a > 0 dan D >0
tinggal mencari c nya.
diketahui juga kedua titik potong di sb x mempunyai nilai
yang berlainan sehingga x1 . x 2 < 0
x1 . x 2 =ac < 0 maka c < 0 (ac =+c < 0 maka c harus -atau < 0
Jawabannya a > 0 dan c <0 �� B

Kumpulan Soal latihan
1. Selisih kuadrat akar-akar persamaan
2×2 – 6x + 2k + 1 = 0
adalah 6. Nilai k adalah
(A) - 1/4 (D) 1/4
(B) - 3/4 (E) 3/4
(C) - 5/4
2. Akar-akar persamaan x2 + px – 4 = 0 adalah dan .
Jika ( )2 – 2 + ( )2 = 8p, maka nilai p adalah
(A) 2 (D) 8
(B) 4 (E) 10
(C) 6
3. dan adalah akar-akar persamaan 3×2 – 4x – 2 = 0, maka ( )2 + ( )2 =
(A) (D)
(B) (E)
(C)
4. dan adalah akar-akar persamaan 3×2 + 4x – 1 = 0, maka + =
(A) 1 (D)
(B) 3 (E)
(C) 4
5. Salah satu akar dari persamaan kuadrat x2 + ax – 4 = 0 adalah lima lebih besar dari akar yang lain.
Nilai a =
(A) -1 dan 1 (D) -4 dan 4
(B) -2 dan 2 (E) -5 dan 5
(C) -3 dan 3
06.  adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x + k – 13 = 0.b dan a
Jika 2 = 21,b2 – a maka k =
(A) 3 (D) -3
(B) 12 (E) -12
(C) 13
7.  adalah akar-akar persamaan kuadratb dan a x2 + 4x + a – 4 = 0.
Jika , maka nilai a yang memenuhi adalahb = 3a
(A) 1 (D) 7
(B) 3 (E) 8
(C) 4
8. Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + kx + k = 15, maka k sama dengan
(A) 0 (D) -1
(B) 1 (E) -5
(C) 5
9.  adalah akar-akar persamaanb dan a kuadrat x2 – x + 4 = 0.
 =b – 2a2 + 2b3 + aNilai
(A) - 7 (D) 7
(B) - 8 (E) 8
(C) - 9
10. Persamaan 2×4 + px3 – 7×2 + qx + 6 = 0 mempunyai akar-akar – 2, 1, a dan .b
2 =b2 + 2aNilai 2
(A) 8 (D) 2
(B) 6 (E) - 2
(C) 4
11. dan adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – (p + 3)x + (2p + 2) = 0.
Jika p bilangan asli, maka = 3 apabila p sama dengan
(A) 12 (D) 5
(B) 8 (E) 4
(C) 6
12. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + k = 0 adalah dan .
Jika ( )2 – ( )2 = -32, maka k sama dengan
(A) - 2 (D) 12
(B) - 6 (E) 24
(C) 6
13. Salah satu akar persamaan x2 – 3x – 2p = 0 tiga lebih besar dari salah satu akar persamaan x2 – 3x + p = 0, maka bilangan asli p adalah
(A) 1 (D) 4
(B) 2 (E) 5
(C) 8
14. Persamaan kuadrat x2 – 32x + z = 0 mem-punyai akar-akar x dan y.
Jika jumlah dari kebalikan akar-akarnya adalah 0,1333…
Nilai dari
(A) 15 (D) 30
(B) 20 (E) 35
(C) 25
20. Bila selisih kuadrat akar-akar persamaan x2 + 3x + k – 13 = 0 sama dengan 21, maka nilai k adalah
(A) - 12 (D) - 3
(B) 3 (E) 12
(C) 13